Ratkaise 25x^2-90x+87=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+87=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}\approx 1,8+0,489897949i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}\approx 1,8-0,489897949i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla -90 ja c luvulla 87 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

Korota -90 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 87}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja 87.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8700}}{2\times 25}$$

Lisää 8100 lukuun -8700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-600}}{2\times 25}$$

Ota luvun -600 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

Luvun -90 vastaluku on 90.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 90 lukuun 10i\sqrt{6}.

$$x=\frac{90+10\sqrt{6}i}{50}$$

Jaa 90+10i\sqrt{6} luvulla 50.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10i\sqrt{6} luvusta 90.

$$x=\frac{-10\sqrt{6}i+90}{50}$$

Jaa 90-10i\sqrt{6} luvulla 50.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

Vähennä 87 yhtälön molemmilta puolilta.

$$25x^{2}-90x+87-87=-87$$

Kun luku 87 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$25x^{2}-90x=-87$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{87}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{87}{25}$$

Supista murtoluku \frac{-90}{25} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{87}{25}$$

Jaa -\frac{18}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{5}. Lisää sitten -\frac{9}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{87}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-87+81}{25}$$

Lisää -\frac{87}{25} lukuun \frac{81}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{6}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{6}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{\sqrt{6}i}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{\sqrt{6}i}{5}$$

Lisää \frac{9}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$