Ratkaise 25x^2-90x+77=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+77=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1,4$$

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2,2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla -90 ja c luvulla 77 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Korota -90 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 77}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja 77.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-7700}}{2\times 25}$$

Lisää 8100 lukuun -7700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{400}}{2\times 25}$$

Ota luvun 400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±20}{2\times 25}$$

Luvun -90 vastaluku on 90.

$$x=\frac{90±20}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{90±20}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±20}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 90 lukuun 20.

$$x=\frac{110}{50}$$

Supista murtoluku \frac{110}{50} luvulla 10.

$$x=\frac{11}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±20}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20 luvusta 90.

$$x=\frac{70}{50}$$

Supista murtoluku \frac{70}{50} luvulla 10.

$$x=\frac{7}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Vähennä 77 yhtälön molemmilta puolilta.

$$25x^{2}-90x+77-77=-77$$

Kun luku 77 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$25x^{2}-90x=-77$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{77}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{77}{25}$$

Supista murtoluku \frac{-90}{25} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{77}{25}$$

Jaa -\frac{18}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{5}. Lisää sitten -\frac{9}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{77}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-77+81}{25}$$

Lisää -\frac{77}{25} lukuun \frac{81}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{4}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{2}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{2}{5}$$

Lisää \frac{9}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$