Ratkaise 25x^2-40x+23=0

$$25 { x }^{ 2 } -40x+23=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{7}i}{5}\approx 0,8+0,529150262i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+4}{5}\approx 0,8-0,529150262i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$25x^{2}-40x+23=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla -40 ja c luvulla 23 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 23}}{2\times 25}$$

Korota -40 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 23}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 23}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja 23.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-2300}}{2\times 25}$$

Lisää 1600 lukuun -2300.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-700}}{2\times 25}$$

Ota luvun -700 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10\sqrt{7}i}{2\times 25}$$

Luvun -40 vastaluku on 40.

$$x=\frac{40±10\sqrt{7}i}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{40±10\sqrt{7}i}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{40±10\sqrt{7}i}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 40 lukuun 10i\sqrt{7}.

$$x=\frac{40+10\sqrt{7}i}{50}$$

Jaa 40+10i\sqrt{7} luvulla 50.

$$x=\frac{4+\sqrt{7}i}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{40±10\sqrt{7}i}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10i\sqrt{7} luvusta 40.

$$x=\frac{-10\sqrt{7}i+40}{50}$$

Jaa 40-10i\sqrt{7} luvulla 50.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+4}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4+\sqrt{7}i}{5} x=\frac{-\sqrt{7}i+4}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+23=0$$

Vähennä 23 yhtälön molemmilta puolilta.

$$25x^{2}-40x+23-23=-23$$

Kun luku 23 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$25x^{2}-40x=-23$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{23}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{23}{25}$$

Supista murtoluku \frac{-40}{25} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{23}{25}$$

Jaa -\frac{8}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{5}. Lisää sitten -\frac{4}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{23}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-23+16}{25}$$

Lisää -\frac{23}{25} lukuun \frac{16}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{7}i}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{7}i}{5}$$

Lisää \frac{4}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4+\sqrt{7}i}{5} x=\frac{-\sqrt{7}i+4}{5}$$