Ratkaise 25x^2+30x=12

$$25 { x }^{ 2 } +30x=12$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}\approx 0,316515139$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}\approx -1,516515139$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$25x^{2}+30x=12$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$25x^{2}+30x-12=12-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$25x^{2}+30x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla 30 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Korota 30 neliöön.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja -12.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1200}}{2\times 25}$$

Lisää 900 lukuun 1200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2100}}{2\times 25}$$

Ota luvun 2100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -30 lukuun 10\sqrt{21}.

$$x=\frac{10\sqrt{21}-30}{50}$$

Jaa -30+10\sqrt{21} luvulla 50.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{21} luvusta -30.

$$x=\frac{-10\sqrt{21}-30}{50}$$

Jaa -30-10\sqrt{21} luvulla 50.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=\frac{12}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=\frac{12}{25}$$

Supista murtoluku \frac{30}{25} luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{12}{25}$$

Jaa \frac{6}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{5}. Lisää sitten \frac{3}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{12+9}{25}$$

Lisää \frac{12}{25} lukuun \frac{9}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{21}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{21}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{21}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

Vähennä \frac{3}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$