Ratkaise 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(4+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Laske lukujen 25 ja 16+8x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Laske lukujen 7 ja 5-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Laske lukujen 35-7x ja 5+x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Selvitä 575 laskemalla yhteen 400 ja 175.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Selvitä 18x^{2} yhdistämällä 25x^{2} ja -7x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Vähennä 295 molemmilta puolilta.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Vähennä 295 luvusta 575 saadaksesi tuloksen 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Lisää 45x^{2} molemmille puolille.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Selvitä 63x^{2} yhdistämällä 18x^{2} ja 45x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 63, b luvulla 200 ja c luvulla 280 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Korota 200 neliöön.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Kerro -4 ja 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Kerro -252 ja 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Lisää 40000 lukuun -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Ota luvun -30560 neliöjuuri.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Kerro 2 ja 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -200 lukuun 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Jaa -200+4i\sqrt{1910} luvulla 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{1910} luvusta -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Jaa -200-4i\sqrt{1910} luvulla 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(4+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Laske lukujen 25 ja 16+8x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Laske lukujen 7 ja 5-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Laske lukujen 35-7x ja 5+x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Selvitä 575 laskemalla yhteen 400 ja 175.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Selvitä 18x^{2} yhdistämällä 25x^{2} ja -7x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Lisää 45x^{2} molemmille puolille.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Selvitä 63x^{2} yhdistämällä 18x^{2} ja 45x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Vähennä 575 molemmilta puolilta.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Vähennä 575 luvusta 295 saadaksesi tuloksen -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Jaa molemmat puolet luvulla 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Jakaminen luvulla 63 kumoaa kertomisen luvulla 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Supista murtoluku \frac{-280}{63} luvulla 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Jaa \frac{200}{63} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{100}{63}. Lisää sitten \frac{100}{63}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Korota \frac{100}{63} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Lisää -\frac{40}{9} lukuun \frac{10000}{3969} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Jaa x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Vähennä \frac{100}{63} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$