Ratkaise 24x-x^2=360

$$24 x - x ^ { 2 } = 360$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-6\sqrt{6}i+12\approx 12-14,696938457i$$

$$x=12+6\sqrt{6}i\approx 12+14,696938457i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+24x=360$$

Vähennä 360 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+24x-360=360-360$$

Kun luku 360 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+24x-360=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 24 ja c luvulla -360 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\left(-1\right)\left(-360\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 24 neliöön.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\left(-1\right)\left(-360\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+4\left(-360\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -360.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-1440}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 576 lukuun -1440.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-864}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -864 neliöjuuri.

$$x=\frac{-24±12\sqrt{6}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-24±12\sqrt{6}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±12\sqrt{6}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -24 lukuun 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-24+12\sqrt{6}i}{-2}$$

Jaa -24+12i\sqrt{6} luvulla -2.

$$x=-6\sqrt{6}i+12$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±12\sqrt{6}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12i\sqrt{6} luvusta -24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i-24}{-2}$$

Jaa -24-12i\sqrt{6} luvulla -2.

$$x=12+6\sqrt{6}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-6\sqrt{6}i+12 x=12+6\sqrt{6}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+24x=360$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+24x}{-1}=\frac{360}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{24}{-1}x=\frac{360}{-1}$$

Jaa 24 luvulla -1.

$$x^{2}-24x=\frac{360}{-1}$$

Jaa 360 luvulla -1.

$$x^{2}-24x=-360$$

Jaa -24 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -12. Lisää sitten -12:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-24x+\left(-12\right)^{2}=-360+\left(-12\right)^{2}$$

Korota -12 neliöön.

$$x^{2}-24x+144=-360+144$$

Lisää -360 lukuun 144.

$$x^{2}-24x+144=-216$$

Jaa x^{2}-24x+144 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-12\right)^{2}=-216$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-12\right)^{2}}=\sqrt{-216}$$

Sievennä.

$$x-12=6\sqrt{6}i x-12=-6\sqrt{6}i$$

Lisää 12 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=12+6\sqrt{6}i x=-6\sqrt{6}i+12$$