Ratkaise 24x^2-72x+48=0

$$24 x ^ { 2 } - 72 x + 48 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$24x^{2}-72x+48=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 24, b luvulla -72 ja c luvulla 48 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 24\times 48}}{2\times 24}$$

Korota -72 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 24\times 48}}{2\times 24}$$

Kerro -4 ja 24.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-96\times 48}}{2\times 24}$$

Kerro -96 ja 48.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4608}}{2\times 24}$$

Lisää 5184 lukuun -4608.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{576}}{2\times 24}$$

Ota luvun 576 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±24}{2\times 24}$$

Luvun -72 vastaluku on 72.

$$x=\frac{72±24}{2\times 24}$$

Kerro 2 ja 24.

$$x=\frac{72±24}{48}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{72±24}{48}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 72 lukuun 24.

$$x=\frac{96}{48}$$

Jaa 96 luvulla 48.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{72±24}{48}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 24 luvusta 72.

$$x=\frac{48}{48}$$

Jaa 48 luvulla 48.

$$x=1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-72x+48=0$$

Vähennä 48 yhtälön molemmilta puolilta.

$$24x^{2}-72x+48-48=-48$$

Kun luku 48 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$24x^{2}-72x=-48$$

Jaa molemmat puolet luvulla 24.

$$\frac{24x^{2}-72x}{24}=-\frac{48}{24}$$

Jakaminen luvulla 24 kumoaa kertomisen luvulla 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{72}{24}\right)x=-\frac{48}{24}$$

Jaa -72 luvulla 24.

$$x^{2}-3x=-\frac{48}{24}$$

Jaa -48 luvulla 24.

$$x^{2}-3x=-2$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Lisää -2 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2 x=1$$