Ratkaise 24x^2-38x+15=0

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 24x^{2}+ax+bx+15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -38.

$$a=-20 b=-18$$

Kirjoita \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right) uudelleen muodossa 24x^{2}-38x+15.

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -3.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

Jaa yleinen termi 6x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 6x-5=0 ja 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 24, b luvulla -38 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Korota -38 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Kerro -4 ja 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Kerro -96 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Lisää 1444 lukuun -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Ota luvun 4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

Luvun -38 vastaluku on 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Kerro 2 ja 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{38±2}{48}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 38 lukuun 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

Supista murtoluku \frac{40}{48} luvulla 8.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{38±2}{48}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2 luvusta 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

Supista murtoluku \frac{36}{48} luvulla 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

Jakaminen luvulla 24 kumoaa kertomisen luvulla 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-38}{24} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-15}{24} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Jaa -\frac{19}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{19}{24}. Lisää sitten -\frac{19}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

Korota -\frac{19}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

Lisää -\frac{5}{8} lukuun \frac{361}{576} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Jaa x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Lisää \frac{19}{24} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$