Ratkaise 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Ratkaise muuttujan k suhteen

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 12k^{2}+ak+bk+12. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 25.

$$a=9 b=16$$

Kirjoita \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right) uudelleen muodossa 12k^{2}+25k+12.

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Jaa 3k toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Jaa yleinen termi 4k+3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 4k+3=0 ja 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 24, b luvulla 50 ja c luvulla 24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Korota 50 neliöön.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Kerro -4 ja 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Kerro -96 ja 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Lisää 2500 lukuun -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Kerro 2 ja 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-50±14}{48}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -50 lukuun 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Supista murtoluku \frac{-36}{48} luvulla 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-50±14}{48}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Supista murtoluku \frac{-64}{48} luvulla 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Vähennä 24 yhtälön molemmilta puolilta.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Kun luku 24 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Jakaminen luvulla 24 kumoaa kertomisen luvulla 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Supista murtoluku \frac{50}{24} luvulla 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Jaa -24 luvulla 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Jaa \frac{25}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{25}{24}. Lisää sitten \frac{25}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Korota \frac{25}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Lisää -1 lukuun \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Jaa k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Sievennä.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Vähennä \frac{25}{24} yhtälön molemmilta puolilta.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$