Ratkaise 219x^2-12x+4=0

$$219 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726+0,13234134i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726-0,13234134i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 219, b luvulla -12 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Kerro -4 ja 219.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-876\times 4}}{2\times 219}$$

Kerro -876 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-3504}}{2\times 219}$$

Lisää 144 lukuun -3504.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-3360}}{2\times 219}$$

Ota luvun -3360 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Kerro 2 ja 219.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 4i\sqrt{210}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{210}i}{438}$$

Jaa 12+4i\sqrt{210} luvulla 438.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{210} luvusta 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{210}i+12}{438}$$

Jaa 12-4i\sqrt{210} luvulla 438.

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$219x^{2}-12x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$219x^{2}-12x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 219.

$$\frac{219x^{2}-12x}{219}=-\frac{4}{219}$$

Jakaminen luvulla 219 kumoaa kertomisen luvulla 219.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{219}\right)x=-\frac{4}{219}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{219} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x=-\frac{4}{219}$$

Jaa -\frac{4}{73} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{73}. Lisää sitten -\frac{2}{73}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{4}{219}+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{73} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{4}{219}+\frac{4}{5329}$$

Lisää -\frac{4}{219} lukuun \frac{4}{5329} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{280}{15987}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{280}{15987}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{280}{15987}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{73}=\frac{2\sqrt{210}i}{219} x-\frac{2}{73}=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}$$

Lisää \frac{2}{73} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$