Ratkaise 21x^2-6x=13

$$21 x ^ { 2 } - 6 x = 13$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{282}}{21}+\frac{1}{7}\approx 0,942516934$$

$$x=-\frac{\sqrt{282}}{21}+\frac{1}{7}\approx -0,656802649$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$21x^{2}-6x=13$$

Vähennä 13 yhtälön molemmilta puolilta.

$$21x^{2}-6x-13=13-13$$

Kun luku 13 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$21x^{2}-6x-13=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 21, b luvulla -6 ja c luvulla -13 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 21\left(-13\right)}}{2\times 21}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 21\left(-13\right)}}{2\times 21}$$

Kerro -4 ja 21.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-84\left(-13\right)}}{2\times 21}$$

Kerro -84 ja -13.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+1092}}{2\times 21}$$

Lisää 36 lukuun 1092.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{1128}}{2\times 21}$$

Ota luvun 1128 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{282}}{2\times 21}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{282}}{2\times 21}$$

Kerro 2 ja 21.

$$x=\frac{6±2\sqrt{282}}{42}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{282}}{42}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2\sqrt{282}.

$$x=\frac{2\sqrt{282}+6}{42}$$

Jaa 6+2\sqrt{282} luvulla 42.

$$x=\frac{\sqrt{282}}{21}+\frac{1}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{282}}{42}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{282} luvusta 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{282}}{42}$$

Jaa 6-2\sqrt{282} luvulla 42.

$$x=-\frac{\sqrt{282}}{21}+\frac{1}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{282}}{21}+\frac{1}{7} x=-\frac{\sqrt{282}}{21}+\frac{1}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}-6x=13$$

Jaa molemmat puolet luvulla 21.

$$\frac{21x^{2}-6x}{21}=\frac{13}{21}$$

Jakaminen luvulla 21 kumoaa kertomisen luvulla 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{21}\right)x=\frac{13}{21}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{21} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{13}{21}$$

Jaa -\frac{2}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{7}. Lisää sitten -\frac{1}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{13}{21}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{13}{21}+\frac{1}{49}$$

Lisää \frac{13}{21} lukuun \frac{1}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{94}{147}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{94}{147}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{94}{147}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{282}}{21} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{282}}{21}$$

Lisää \frac{1}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{282}}{21}+\frac{1}{7} x=-\frac{\sqrt{282}}{21}+\frac{1}{7}$$