Ratkaise 20x-2x^2=48

$$20x-2 { x }^{ 2 } =48$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=4$$

$$x=6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 48 molemmilta puolilta.

$$20x-2x^{2}-48=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$10x-x^{2}-24=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx-24. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 10.

$$a=6 b=4$$

Kirjoita \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right) uudelleen muodossa -x^{2}+10x-24.

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Vähennä 48 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Kun luku 48 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 20 ja c luvulla -48 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 20 neliöön.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 400 lukuun -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 16 neliöjuuri.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±4}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20 lukuun 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Jaa -16 luvulla -4.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±4}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4 luvusta -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Jaa -24 luvulla -4.

$$x=6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Jaa 20 luvulla -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Jaa 48 luvulla -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Jaa -10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -5. Lisää sitten -5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Lisää -24 lukuun 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Jaa x^{2}-10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sievennä.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=4$$