Ratkaise 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 20, b luvulla -28 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Korota -28 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kerro -4 ja 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kerro -80 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Lisää 784 lukuun 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Ota luvun 864 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Luvun -28 vastaluku on 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Kerro 2 ja 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 28 lukuun 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Jaa 28+12\sqrt{6} luvulla 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12\sqrt{6} luvusta 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Jaa 28-12\sqrt{6} luvulla 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Jakaminen luvulla 20 kumoaa kertomisen luvulla 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Supista murtoluku \frac{-28}{20} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Jaa -\frac{7}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{10}. Lisää sitten -\frac{7}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Lisää \frac{1}{20} lukuun \frac{49}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Lisää \frac{7}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$