Ratkaise 20x^2+x-1>0

$$20 x ^ { 2 } + x - 1 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{5},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$20x^{2}+x-1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 20 tilalle a, muuttujan 1 tilalle b ja muuttujan -1 tilalle c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-1±9}{40}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-1±9}{40} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{1}{4}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$20\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-\frac{1}{5} ja x+\frac{1}{4} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{1}{5} ja x+\frac{1}{4} ovat molemmat negatiivisia.

$$x-\frac{1}{5}<0 x+\frac{1}{4}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<-\frac{1}{4}.

$$x<-\frac{1}{4}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{1}{5} ja x+\frac{1}{4} ovat molemmat positiivisia.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{1}{5}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>\frac{1}{5}.

$$x>\frac{1}{5}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<-\frac{1}{4}\text{; }x>\frac{1}{5}$$