Ratkaise 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 20x^{2}+ax+bx-1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -1.

$$a=-5 b=4$$

Kirjoita \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right) uudelleen muodossa 20x^{2}-x-1.

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Ota 5x tekijäksi lausekkeessa 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Jaa yleinen termi 4x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 4x-1=0 ja 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 20, b luvulla -1 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kerro -4 ja 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kerro -80 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Lisää 1 lukuun 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Ota luvun 81 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Kerro 2 ja 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±9}{40}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Supista murtoluku \frac{10}{40} luvulla 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±9}{40}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9 luvusta 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Supista murtoluku \frac{-8}{40} luvulla 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Jakaminen luvulla 20 kumoaa kertomisen luvulla 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Jaa -\frac{1}{20} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{40}. Lisää sitten -\frac{1}{40}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{40} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Lisää \frac{1}{20} lukuun \frac{1}{1600} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Lisää \frac{1}{40} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$