Ratkaise 20=-49t^2+20t+130

$$20 = - 49 t ^ { 2 } + 20 t + 130$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{3 \sqrt{610} + 10}{49} \approx 1,716214984$$

$$t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49}\approx -1,308051719$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-49t^{2}+20t+130=20$$

Vähennä 20 molemmilta puolilta.

$$-49t^{2}+20t+130-20=0$$

Vähennä 20 luvusta 130 saadaksesi tuloksen 110.

$$-49t^{2}+20t+110=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -49, b luvulla 20 ja c luvulla 110 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\times 110}}{2\left(-49\right)}$$

Korota 20 neliöön.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\times 110}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro -4 ja -49.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+196\times 110}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 196 ja 110.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+21560}}{2\left(-49\right)}$$

Lisää 400 lukuun 21560.

$$t=\frac{-20±\sqrt{21960}}{2\left(-49\right)}$$

Ota luvun 21960 neliöjuuri.

$$t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 2 ja -49.

$$t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{-98}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{-98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20 lukuun 6\sqrt{610}.

$$t=\frac{6\sqrt{610}-20}{-98}$$

Jaa -20+6\sqrt{610} luvulla -98.

$$t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{-98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{610} luvusta -20.

$$t=\frac{-6\sqrt{610}-20}{-98}$$

Jaa -20-6\sqrt{610} luvulla -98.

$$t=\frac{3\sqrt{610}+10}{49}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49} t=\frac{3\sqrt{610}+10}{49}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-49t^{2}+20t+130=20$$

Vähennä 130 molemmilta puolilta.

$$-49t^{2}+20t=20-130$$

Vähennä 130 luvusta 20 saadaksesi tuloksen -110.

$$-49t^{2}+20t=-110$$

Jaa molemmat puolet luvulla -49.

$$\frac{-49t^{2}+20t}{-49}=-\frac{110}{-49}$$

Jakaminen luvulla -49 kumoaa kertomisen luvulla -49.

$$t^{2}+\frac{20}{-49}t=-\frac{110}{-49}$$

Jaa 20 luvulla -49.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t=-\frac{110}{-49}$$

Jaa -110 luvulla -49.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t=\frac{110}{49}$$

Jaa -\frac{20}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{10}{49}. Lisää sitten -\frac{10}{49}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{110}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Korota -\frac{10}{49} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}=\frac{110}{49}+\frac{100}{2401}$$

Lisää \frac{110}{49} lukuun \frac{100}{2401} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}=\frac{5490}{2401}$$

Jaa t^{2}-\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{5490}{2401}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5490}{2401}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{10}{49}=\frac{3\sqrt{610}}{49} t-\frac{10}{49}=-\frac{3\sqrt{610}}{49}$$

Lisää \frac{10}{49} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{3\sqrt{610}+10}{49} t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49}$$