Ratkaise 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-30$$

$$x=20$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-600. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 10.

$$a=-20 b=30$$

Kirjoita \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right) uudelleen muodossa x^{2}+10x-600.

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 30.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Jaa yleinen termi x-20 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-20=0 ja x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla 250 ja c luvulla -15000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Korota 250 neliöön.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Lisää 62500 lukuun 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Ota luvun 1562500 neliöjuuri.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-250±1250}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -250 lukuun 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Jaa 1000 luvulla 50.

$$x=20$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-250±1250}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1250 luvusta -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Jaa -1500 luvulla 50.

$$x=-30$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=20 x=-30$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Lisää 15000 yhtälön kummallekin puolelle.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Kun luku -15000 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Vähennä -15000 luvusta 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Jaa 250 luvulla 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Jaa 15000 luvulla 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Jaa 10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 5. Lisää sitten 5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Lisää 600 lukuun 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Jaa x^{2}+10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Sievennä.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=20 x=-30$$