Ratkaise 2(x-6)+37=41+x^2

$$2(x-6)+37=41+ { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\sqrt{15}i+1\approx 1-3,872983346i$$

$$x=1+\sqrt{15}i\approx 1+3,872983346i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2 ja x-6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-12+37=41+x^{2}$$

Selvitä 25 laskemalla yhteen -12 ja 37.

$$2x+25=41+x^{2}$$

Vähennä 41 molemmilta puolilta.

$$2x+25-41=x^{2}$$

Vähennä 41 luvusta 25 saadaksesi tuloksen -16.

$$2x-16=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$2x-16-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+2x-16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 2 ja c luvulla -16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-64}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 4 lukuun -64.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-60}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -60 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{15}i}{-2}$$

Jaa -2+2i\sqrt{15} luvulla -2.

$$x=-\sqrt{15}i+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{15} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i-2}{-2}$$

Jaa -2-2i\sqrt{15} luvulla -2.

$$x=1+\sqrt{15}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\sqrt{15}i+1 x=1+\sqrt{15}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2 ja x-6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-12+37=41+x^{2}$$

Selvitä 25 laskemalla yhteen -12 ja 37.

$$2x+25=41+x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$2x+25-x^{2}=41$$

Vähennä 25 molemmilta puolilta.

$$2x-x^{2}=41-25$$

Vähennä 25 luvusta 41 saadaksesi tuloksen 16.

$$2x-x^{2}=16$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=16$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=\frac{16}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=\frac{16}{-1}$$

Jaa 2 luvulla -1.

$$x^{2}-2x=\frac{16}{-1}$$

Jaa 16 luvulla -1.

$$x^{2}-2x=-16$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-16+1$$

Lisää -16 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=-15$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=-15$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-15}$$

Sievennä.

$$x-1=\sqrt{15}i x-1=-\sqrt{15}i$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1+\sqrt{15}i x=-\sqrt{15}i+1$$