Ratkaise 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -2 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Korota -2 neliöön.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Lisää 4 lukuun -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Ota luvun -36 neliöjuuri.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{2±6i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Jaa 2+6i luvulla 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{2±6i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6i luvusta 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Jaa 2-6i luvulla 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Jaa -2 luvulla 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää -\frac{5}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Jaa z^{2}-z+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$