Ratkaise 2z^2+2z-60

$$2 z ^ { 2 } + 2 z - 60$$

Jaa tekijöihin

$$2\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa tekijöihin 2:n suhteen.

$$2\left(z^{2}+z-30\right)$$

Tarkastele lauseketta z^{2}+z-30. Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa z^{2}+az+bz-30. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 1.

$$a=-5 b=6$$

Kirjoita \left(z^{2}-5z\right)+\left(6z-30\right) uudelleen muodossa z^{2}+z-30.

$$\left(z^{2}-5z\right)+\left(6z-30\right)$$

Ota z tekijäksi ensimmäisessä ja 6 toisessa ryhmässä.

$$z\left(z-5\right)+6\left(z-5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi z-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$

Kirjoita koko tekijöihin jaettu lauseke uudelleen.

$$2\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2z^{2}+2z-60=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-60\right)}}{2\times 2}$$

Korota 2 neliöön.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-60\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-60\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -60.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+480}}{2\times 2}$$

Lisää 4 lukuun 480.

$$z=\frac{-2±\sqrt{484}}{2\times 2}$$

Ota luvun 484 neliöjuuri.

$$z=\frac{-2±22}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$z=\frac{-2±22}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-2±22}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 22.

$$z=\frac{20}{4}$$

Jaa 20 luvulla 4.

$$z=5$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-2±22}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 22 luvusta -2.

$$z=-\frac{24}{4}$$

Jaa -24 luvulla 4.

$$z=-6$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa 5 kohteella x_{1} ja -6 kohteella x_{2}.

$$2z^{2}+2z-60=2\left(z-5\right)\left(z-\left(-6\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$2z^{2}+2z-60=2\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$

Laske

$$2\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$