Ratkaise 2y^2-y+2=0

$$2 y ^ { 2 } - y + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}\approx 0,25+0,968245837i$$

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}\approx 0,25-0,968245837i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -1 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\times 2}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun -16.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-15}}{2\times 2}$$

Ota luvun -15 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun i\sqrt{15}.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{15} luvusta 1.

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2y^{2}-y+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2y^{2}-y=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2y^{2}-y}{2}=-\frac{2}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{2}$$

Jaa -2 luvulla 2.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-1$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Lisää -1 lukuun \frac{1}{16}.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Jaa y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} y-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$