Ratkaise 2y^2-7y+5=0

$$2 y ^ { 2 } - 7 y + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=1$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2y^{2}+ay+by+5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-7 ab=2\times 5=10$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -7.

$$a=-5 b=-2$$

Kirjoita \left(2y^{2}-5y\right)+\left(-2y+5\right) uudelleen muodossa 2y^{2}-7y+5.

$$\left(2y^{2}-5y\right)+\left(-2y+5\right)$$

Jaa y toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$y\left(2y-5\right)-\left(2y-5\right)$$

Jaa yleinen termi 2y-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2y-5\right)\left(y-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2y-5=0 ja y-1=0.

$$y=\frac{5}{2} y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2y^{2}-7y+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -7 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Korota -7 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 5.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Lisää 49 lukuun -40.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±3}{2\times 2}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$y=\frac{7±3}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$y=\frac{7±3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{7±3}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 3.

$$y=\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{10}{4} luvulla 2.

$$y=\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{7±3}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta 7.

$$y=\frac{4}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$y=1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{5}{2} y=1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}-7y+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2y^{2}-7y+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2y^{2}-7y=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2y^{2}-7y}{2}=-\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$y^{2}-\frac{7}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Jaa -\frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{4}. Lisää sitten -\frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{7}{2}y+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{7}{2}y+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Lisää -\frac{5}{2} lukuun \frac{49}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{7}{2}y+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Jaa y^{2}-\frac{7}{2}y+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{7}{4}=\frac{3}{4} y-\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Lisää \frac{7}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{5}{2} y=1$$