Ratkaise 2y+y^2-6=0

$$2 y + y ^ { 2 } - 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen (complex solution)

$$y=\sqrt{7}-1\approx 1,645751311$$

$$y=-\left(\sqrt{7}+1\right)\approx -3,645751311$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y^{2}+2y-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-6\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-6\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -6.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+24}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 24.

$$y=\frac{-2±\sqrt{28}}{2}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{7} luvulla 2.

$$y=\sqrt{7}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{7}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{7} luvulla 2.

$$y=-\sqrt{7}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\sqrt{7}-1 y=-\sqrt{7}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+2y-6=0$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y^{2}+2y-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Kun luku -6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$y^{2}+2y=-\left(-6\right)$$

Vähennä -6 luvusta 0.

$$y^{2}+2y=6$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+2y+1^{2}=6+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$y^{2}+2y+1=6+1$$

Lisää 6 lukuun 1.

$$y^{2}+2y+1=7$$

Jaa y^{2}+2y+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=7$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Sievennä.

$$y+1=\sqrt{7} y+1=-\sqrt{7}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\sqrt{7}-1 y=-\sqrt{7}-1$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\sqrt{7}-1\approx 1,645751311$$

$$y=-\sqrt{7}-1\approx -3,645751311$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y^{2}+2y-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-6\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-6\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -6.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+24}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 24.

$$y=\frac{-2±\sqrt{28}}{2}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{7} luvulla 2.

$$y=\sqrt{7}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{7}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{7} luvulla 2.

$$y=-\sqrt{7}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\sqrt{7}-1 y=-\sqrt{7}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+2y-6=0$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y^{2}+2y-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Kun luku -6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$y^{2}+2y=-\left(-6\right)$$

Vähennä -6 luvusta 0.

$$y^{2}+2y=6$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+2y+1^{2}=6+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$y^{2}+2y+1=6+1$$

Lisää 6 lukuun 1.

$$y^{2}+2y+1=7$$

Jaa y^{2}+2y+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=7$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Sievennä.

$$y+1=\sqrt{7} y+1=-\sqrt{7}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\sqrt{7}-1 y=-\sqrt{7}-1$$