Ratkaise 2x-49x^2=3

$$2 x - 49 x ^ { 2 } = 3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{146}i+1}{49}\approx 0,020408163-0,246592775i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{146}i}{49}\approx 0,020408163+0,246592775i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-49x^{2}+2x=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-49x^{2}+2x-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-49x^{2}+2x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -49, b luvulla 2 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-49\right)\left(-3\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-49\right)\left(-3\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro -4 ja -49.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+196\left(-3\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 196 ja -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-588}}{2\left(-49\right)}$$

Lisää 4 lukuun -588.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-584}}{2\left(-49\right)}$$

Ota luvun -584 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{146}i}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 2 ja -49.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{146}i}{-98}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{146}i}{-98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{146}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{146}i}{-98}$$

Jaa -2+2i\sqrt{146} luvulla -98.

$$x=\frac{-\sqrt{146}i+1}{49}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{146}i}{-98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{146} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{146}i-2}{-98}$$

Jaa -2-2i\sqrt{146} luvulla -98.

$$x=\frac{1+\sqrt{146}i}{49}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{146}i+1}{49} x=\frac{1+\sqrt{146}i}{49}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-49x^{2}+2x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla -49.

$$\frac{-49x^{2}+2x}{-49}=\frac{3}{-49}$$

Jakaminen luvulla -49 kumoaa kertomisen luvulla -49.

$$x^{2}+\frac{2}{-49}x=\frac{3}{-49}$$

Jaa 2 luvulla -49.

$$x^{2}-\frac{2}{49}x=\frac{3}{-49}$$

Jaa 3 luvulla -49.

$$x^{2}-\frac{2}{49}x=-\frac{3}{49}$$

Jaa -\frac{2}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{49}. Lisää sitten -\frac{1}{49}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{49}x+\left(-\frac{1}{49}\right)^{2}=-\frac{3}{49}+\left(-\frac{1}{49}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{49} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=-\frac{3}{49}+\frac{1}{2401}$$

Lisää -\frac{3}{49} lukuun \frac{1}{2401} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=-\frac{146}{2401}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{49}\right)^{2}=-\frac{146}{2401}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{146}{2401}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{49}=\frac{\sqrt{146}i}{49} x-\frac{1}{49}=-\frac{\sqrt{146}i}{49}$$

Lisää \frac{1}{49} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{146}i}{49} x=\frac{-\sqrt{146}i+1}{49}$$