Ratkaise 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$2x-3y=-2$$

Lisää 3y yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x=3y-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Kerro \frac{1}{2} ja 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Korvaa x arvolla \frac{3y}{2}-1 toisessa yhtälössä, 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Kerro 4 ja \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Lisää 6y lukuun y.

$$7y-4=2A$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$7y=2A+4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Korvaa y arvolla \frac{4+2A}{7} yhtälössä x=\frac{3}{2}y-1. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Kerro \frac{3}{2} ja \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Lisää -1 lukuun \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Jos haluat saada luvut 2x ja 4x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 4 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Sievennä.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Vähennä 8x+2y=4A lausekkeesta 8x-12y=-8 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Lisää 8x lukuun -8x. Termit 8x ja -8x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Lisää -12y lukuun -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Lisää -8 lukuun -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Korvaa y arvolla \frac{4+2A}{7} yhtälössä 4x+y=2A. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Vähennä \frac{4+2A}{7} yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$