Ratkaise 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$2x-3y+10=0$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x-3y=-10$$

Lisää 3y yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x=3y-10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Kerro \frac{1}{2} ja 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Korvaa x arvolla \frac{3y}{2}-5 toisessa yhtälössä, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Kerro 5 ja \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Lisää \frac{15y}{2} lukuun -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Lisää -25 lukuun 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Lisää 21 yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{13}{2}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=\frac{42}{13}$$

Korvaa y arvolla \frac{42}{13} yhtälössä x=\frac{3}{2}y-5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Kerro \frac{3}{2} ja \frac{42}{13} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Lisää -5 lukuun \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Jos haluat saada luvut 2x ja 5x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 5 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Sievennä.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Vähennä 10x-2y+8=0 lausekkeesta 10x-15y+50=0 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Lisää 10x lukuun -10x. Termit 10x ja -10x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Lisää -15y lukuun 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Lisää 50 lukuun -8.

$$-13y+42=0$$

Vähennä 42 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-13y=-42$$

Jaa molemmat puolet luvulla -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Korvaa y arvolla \frac{42}{13} yhtälössä 5x-y+4=0. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Lisää -\frac{42}{13} lukuun 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Vähennä \frac{10}{13} yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$