Ratkaise 2x-1=1/x

$$2 x - 1 = \frac { 1 } { x }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x.

$$2xx+x\left(-1\right)=1$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$2x^{2}+x\left(-1\right)=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+x\left(-1\right)-1=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -1 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\times 2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±3}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±3}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 3.

$$x=\frac{4}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±3}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta 1.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x.

$$2xx+x\left(-1\right)=1$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$2x^{2}+x\left(-1\right)=1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$