Ratkaise 2x(x-3)=-15

$$2 x ( x - 3 ) = - 15$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2}\approx 1,5+2,291287847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}\approx 1,5-2,291287847i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}-6x=-15$$

Lisää 15 molemmille puolille.

$$2x^{2}-6x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -6 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\times 15}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-120}}{2\times 2}$$

Lisää 36 lukuun -120.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-84}}{2\times 2}$$

Ota luvun -84 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 2}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{21}i}{4}$$

Jaa 6+2i\sqrt{21} luvulla 4.

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{21} luvusta 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+6}{4}$$

Jaa 6-2i\sqrt{21} luvulla 4.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2} x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}-6x=-15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=-\frac{15}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=-\frac{15}{2}$$

Jaa -6 luvulla 2.

$$x^{2}-3x=-\frac{15}{2}$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{15}{2}+\frac{9}{4}$$

Lisää -\frac{15}{2} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{21}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}i}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2} x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}$$