Ratkaise 2x(x-3/2)=11

$$2 x ( x - \frac { 3 } { 2 } ) = 11$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{97} + 3}{4} \approx 3,21221445$$

$$x=\frac{3-\sqrt{97}}{4}\approx -1,71221445$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x ja x-\frac{3}{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+2x\left(-\frac{3}{2}\right)=11$$

Supista 2 ja 2.

$$2x^{2}-3x=11$$

Vähennä 11 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-3x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -3 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -11.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+88}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 88.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{97}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{97}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{97}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{97} luvusta 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{97}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{97}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{97}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x ja x-\frac{3}{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+2x\left(-\frac{3}{2}\right)=11$$

Supista 2 ja 2.

$$2x^{2}-3x=11$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{11}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{11}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää \frac{11}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{97}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{97}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{97}}{4}$$