Ratkaise 2x(x+15)=-1

$$2 x ( x + 15 ) = - 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{223}-15}{2}\approx -0,033407738$$

$$x=\frac{-\sqrt{223}-15}{2}\approx -14,966592262$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x ja x+15 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+30x=-1$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$2x^{2}+30x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 30 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Korota 30 neliöön.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 2}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-8}}{2\times 2}$$

Lisää 900 lukuun -8.

$$x=\frac{-30±\sqrt{892}}{2\times 2}$$

Ota luvun 892 neliöjuuri.

$$x=\frac{-30±2\sqrt{223}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-30±2\sqrt{223}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±2\sqrt{223}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -30 lukuun 2\sqrt{223}.

$$x=\frac{2\sqrt{223}-30}{4}$$

Jaa -30+2\sqrt{223} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{223}-15}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±2\sqrt{223}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{223} luvusta -30.

$$x=\frac{-2\sqrt{223}-30}{4}$$

Jaa -30-2\sqrt{223} luvulla 4.

$$x=\frac{-\sqrt{223}-15}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{223}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{223}-15}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x ja x+15 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+30x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+30x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{30}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Jaa 30 luvulla 2.

$$x^{2}+15x=-\frac{1}{2}$$

Jaa 15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{15}{2}. Lisää sitten \frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{225}{4}$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun \frac{225}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{223}{4}$$

Jaa x^{2}+15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{223}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{223}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{223}}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{223}}{2}$$

Vähennä \frac{15}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{223}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{223}-15}{2}$$