Ratkaise 2x(1-x)+1-x<0

$$2 x ( 1 - x ) + 1 - x < 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x ja 1-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-2x^{2}+1-x<0$$

Selvitä x yhdistämällä 2x ja -x.

$$x-2x^{2}+1<0$$

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön x-2x^{2}+1 korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on negatiivinen, epäyhtälö suunta muuttuu.

$$-x+2x^{2}-1>0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$-x+2x^{2}-1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan -1 tilalle b ja muuttujan -1 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{1±3}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-1 ja x+\frac{1}{2} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-1 ja x+\frac{1}{2} ovat molemmat negatiivisia.

$$x-1<0 x+\frac{1}{2}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<-\frac{1}{2}.

$$x<-\frac{1}{2}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-1 ja x+\frac{1}{2} ovat molemmat positiivisia.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>1.

$$x>1$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<-\frac{1}{2}\text{; }x>1$$