Ratkaise 2x^4-7x^3-7x^2+35x-15=0

$$2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 35 x - 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}\approx -2,236067977$$

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Ratkaisun vaiheet

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin -15 ja q jakaa alku kertoimen 2. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=3$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa 2x^{4}-7x^{3}-7x^{2}+35x-15 luvulla x-3, jolloin ratkaisuksi tulee 2x^{3}-x^{2}-10x+5. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$2x^{3}-x^{2}-10x+5=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 5 ja q jakaa alku kertoimen 2. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=\frac{1}{2}$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa 2x^{3}-x^{2}-10x+5 luvulla 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}-5. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}-5=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 0 tilalle b ja muuttujan -5 tilalle c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{0±2\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise yhtälö x^{2}-5=0 kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=3 x=\frac{1}{2} x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$