Ratkaise 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -1.

$$a=-6 b=5$$

Kirjoita \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-x-15.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Jaa yleinen termi x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-3=0 ja 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -1 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±11}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

Jaa 12 luvulla 4.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±11}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kun luku -15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

Vähennä -15 luvusta 0.

$$2x^{2}-x=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Lisää \frac{15}{2} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$