Ratkaise 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan -1 tilalle b ja muuttujan -1 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{1±3}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-1 ja x+\frac{1}{2} on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-1 on positiivinen ja x+\frac{1}{2} on negatiivinen.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x+\frac{1}{2} on positiivinen ja x-1 on negatiivinen.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$