Ratkaise 2x^2-9x+5=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 9}{4} \approx 3,850781059$$

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}\approx 0,649218941$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -9 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-40}}{2\times 2}$$

Lisää 81 lukuun -40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{41} luvusta 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-9x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-9x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Jaa -\frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{4}. Lisää sitten -\frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Lisää -\frac{5}{2} lukuun \frac{81}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{41}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Lisää \frac{9}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$