Ratkaise 2x^2-8x-24=0

$$2 x ^ { 2 } - 8 x - 24 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x=6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x^{2}-4x-12=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-12. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-4 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -4.

$$a=-6 b=2$$

Kirjoita \left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right) uudelleen muodossa x^{2}-4x-12.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$x\left(x-6\right)+2\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja x+2=0.

$$x=6 x=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-8x-24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -8 ja c luvulla -24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -24.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\times 2}$$

Lisää 64 lukuun 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\times 2}$$

Ota luvun 256 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\times 2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±16}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{8±16}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±16}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 16.

$$x=\frac{24}{4}$$

Jaa 24 luvulla 4.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±16}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16 luvusta 8.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Jaa -8 luvulla 4.

$$x=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-8x-24=0$$

Lisää 24 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-8x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Kun luku -24 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-8x=-\left(-24\right)$$

Vähennä -24 luvusta 0.

$$2x^{2}-8x=24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{24}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{24}{2}$$

Jaa -8 luvulla 2.

$$x^{2}-4x=\frac{24}{2}$$

Jaa 24 luvulla 2.

$$x^{2}-4x=12$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=12+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=12+4$$

Lisää 12 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=16$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=16$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sievennä.

$$x-2=4 x-2=-4$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=-2$$