Ratkaise 2x^2-8x-223=0

$$2 x ^ { 2 } - 8 x - 223 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{462}}{2}+2\approx 12,74709263$$

$$x=-\frac{\sqrt{462}}{2}+2\approx -8,74709263$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-8x-223=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -8 ja c luvulla -223 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-223\right)}}{2\times 2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-223\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-223\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -223.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+1784}}{2\times 2}$$

Lisää 64 lukuun 1784.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1848}}{2\times 2}$$

Ota luvun 1848 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{462}}{2\times 2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{462}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{8±2\sqrt{462}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{462}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2\sqrt{462}.

$$x=\frac{2\sqrt{462}+8}{4}$$

Jaa 8+2\sqrt{462} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{462}}{2}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{462}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{462} luvusta 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{462}}{4}$$

Jaa 8-2\sqrt{462} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{462}}{2}+2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{462}}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{462}}{2}+2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-8x-223=0$$

Lisää 223 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-8x-223-\left(-223\right)=-\left(-223\right)$$

Kun luku -223 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-8x=-\left(-223\right)$$

Vähennä -223 luvusta 0.

$$2x^{2}-8x=223$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{223}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{223}{2}$$

Jaa -8 luvulla 2.

$$x^{2}-4x=\frac{223}{2}$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=\frac{223}{2}+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=\frac{223}{2}+4$$

Lisää \frac{223}{2} lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{231}{2}$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{231}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{231}{2}}$$

Sievennä.

$$x-2=\frac{\sqrt{462}}{2} x-2=-\frac{\sqrt{462}}{2}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{462}}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{462}}{2}+2$$