Ratkaise 2x^2-8x=2

$$2 x ^ { 2 } - 8 x = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-8x=2$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-8x-2=2-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-8x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -8 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+16}}{2\times 2}$$

Lisää 64 lukuun 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{80}}{2\times 2}$$

Ota luvun 80 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±4\sqrt{5}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+8}{4}$$

Jaa 8+4\sqrt{5} luvulla 4.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±4\sqrt{5}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{5} luvusta 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{5}}{4}$$

Jaa 8-4\sqrt{5} luvulla 4.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-8x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{2}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{2}{2}$$

Jaa -8 luvulla 2.

$$x^{2}-4x=\frac{2}{2}$$

Jaa 2 luvulla 2.

$$x^{2}-4x=1$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Lisää 1 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$