Ratkaise 2x^2-7x-2=4x+5

$$2 x ^ { 2 } - 7 x - 2 = 4 x + 5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{177} + 11}{4} \approx 6,076033674$$

$$x=\frac{11-\sqrt{177}}{4}\approx -0,576033674$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-7x-2-4x=5$$

Selvitä -11x yhdistämällä -7x ja -4x.

$$2x^{2}-11x-2=5$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-11x-2-5=0$$

Vähennä 5 luvusta -2 saadaksesi tuloksen -7.

$$2x^{2}-11x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -11 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+56}}{2\times 2}$$

Lisää 121 lukuun 56.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{177}}{2\times 2}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{177}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{177}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{177}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun \sqrt{177}.

$$x=\frac{\sqrt{177}+11}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{177}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{177} luvusta 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{177}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{177}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{177}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-7x-2-4x=5$$

Selvitä -11x yhdistämällä -7x ja -4x.

$$2x^{2}-11x-2=5$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$2x^{2}-11x=5+2$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen 5 ja 2.

$$2x^{2}-11x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{7}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{7}{2}$$

Jaa -\frac{11}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{4}. Lisää sitten -\frac{11}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{7}{2}+\frac{121}{16}$$

Lisää \frac{7}{2} lukuun \frac{121}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{177}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{177}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{177}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{177}}{4}$$

Lisää \frac{11}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{177}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{177}}{4}$$