Ratkaise 2x^2-7x+9=0

$$2 x ^ { 2 } - 7 x + 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{23}i}{4}\approx 1,75+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+7}{4}\approx 1,75-1,198957881i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-7x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -7 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 9}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-72}}{2\times 2}$$

Lisää 49 lukuun -72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Ota luvun -23 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{7±\sqrt{23}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{23}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun i\sqrt{23}.

$$x=\frac{7+\sqrt{23}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{23}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{23} luvusta 7.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-7x+9=0$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-7x+9-9=-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-7x=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Jaa -\frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{4}. Lisää sitten -\frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{49}{16}$$

Lisää -\frac{9}{2} lukuun \frac{49}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{23}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Lisää \frac{7}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+7}{4}$$