Ratkaise 2x^2-6x+1=0

$$2 x ^ { 2 } - 6 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{7} + 3}{2} \approx 2,822875656$$

$$x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}\approx 0,177124344$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-6x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -6 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8}}{2\times 2}$$

Lisää 36 lukuun -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{7}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+6}{4}$$

Jaa 6+2\sqrt{7} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{7}+3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{7}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{7}}{4}$$

Jaa 6-2\sqrt{7} luvulla 4.

$$x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{7}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-6x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-6x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-6x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=-\frac{1}{2}$$

Jaa -6 luvulla 2.

$$x^{2}-3x=-\frac{1}{2}$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{4}$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{7}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$