Ratkaise 2x^2-5x-6=0

$$2 x ^ { 2 } - 5 x - 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{73} + 5}{4} \approx 3,386000936$$

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{4}\approx -0,886000936$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-5x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -5 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+48}}{2\times 2}$$

Lisää 25 lukuun 48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{73}}{2\times 2}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{73}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{73}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{73} luvusta 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{73}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-6=0$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Kun luku -6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-6\right)$$

Vähennä -6 luvusta 0.

$$2x^{2}-5x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{6}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{6}{2}$$

Jaa 6 luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=3$$

Jaa -\frac{5}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{4}. Lisää sitten -\frac{5}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=3+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=3+\frac{25}{16}$$

Lisää 3 lukuun \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{73}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{73}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{73}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{73}}{4}$$

Lisää \frac{5}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{73}}{4}$$