Ratkaise 2x^2-4x+1<0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 < 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}-4x+1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan -4 tilalle b ja muuttujan 1 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ja x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) on positiivinen ja x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) on negatiivinen.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) on positiivinen ja x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) on negatiivinen.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$