Ratkaise 2x^2-3x-5=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-5. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -10.

$$1,-10 2,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -3.

$$a=-5 b=2$$

Kirjoita \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-3x-5.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

Ota x tekijäksi lausekkeessa 2x^{2}-5x.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2x-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 2x-5=0 ja x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -3 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±7}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{10}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±7}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$2x^{2}-3x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$