Ratkaise 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-14. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -3.

$$a=-7 b=4$$

Kirjoita \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-3x-14.

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-7 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-7=0 ja x+2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -3 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±11}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Supista murtoluku \frac{14}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±11}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Jaa -8 luvulla 4.

$$x=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Lisää 14 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Kun luku -14 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Vähennä -14 luvusta 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Jaa 14 luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Lisää 7 lukuun \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$