Ratkaise 2x^2-3x+3=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x + 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{15}i}{4}\approx 0,75+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}\approx 0,75-0,968245837i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-3x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -3 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 3}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-24}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun -24.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-15}}{2\times 2}$$

Ota luvun -15 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{15}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{15}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun i\sqrt{15}.

$$x=\frac{3+\sqrt{15}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±\sqrt{15}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{15} luvusta 3.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-3x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-3x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää -\frac{3}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{15}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}$$