Ratkaise 2x^2-28x+171=0

$$2 x ^ { 2 } - 28 x + 171 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{146}i}{2}+7\approx 7+6,041522987i$$

$$x=-\frac{\sqrt{146}i}{2}+7\approx 7-6,041522987i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-28x+171=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -28 ja c luvulla 171 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 2\times 171}}{2\times 2}$$

Korota -28 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 2\times 171}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-8\times 171}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 171.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-1368}}{2\times 2}$$

Lisää 784 lukuun -1368.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{-584}}{2\times 2}$$

Ota luvun -584 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±2\sqrt{146}i}{2\times 2}$$

Luvun -28 vastaluku on 28.

$$x=\frac{28±2\sqrt{146}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{28±2\sqrt{146}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{28±2\sqrt{146}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 28 lukuun 2i\sqrt{146}.

$$x=\frac{28+2\sqrt{146}i}{4}$$

Jaa 28+2i\sqrt{146} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{146}i}{2}+7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{28±2\sqrt{146}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{146} luvusta 28.

$$x=\frac{-2\sqrt{146}i+28}{4}$$

Jaa 28-2i\sqrt{146} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{146}i}{2}+7$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{146}i}{2}+7 x=-\frac{\sqrt{146}i}{2}+7$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-28x+171=0$$

Vähennä 171 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-28x+171-171=-171$$

Kun luku 171 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-28x=-171$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-28x}{2}=-\frac{171}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{2}\right)x=-\frac{171}{2}$$

Jaa -28 luvulla 2.

$$x^{2}-14x=-\frac{171}{2}$$

Jaa -14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -7. Lisää sitten -7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-\frac{171}{2}+\left(-7\right)^{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x^{2}-14x+49=-\frac{171}{2}+49$$

Lisää -\frac{171}{2} lukuun 49.

$$x^{2}-14x+49=-\frac{73}{2}$$

Jaa x^{2}-14x+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=-\frac{73}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{73}{2}}$$

Sievennä.

$$x-7=\frac{\sqrt{146}i}{2} x-7=-\frac{\sqrt{146}i}{2}$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{146}i}{2}+7 x=-\frac{\sqrt{146}i}{2}+7$$