Ratkaise 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-4$$

$$x=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 28 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Vähennä 28 luvusta -12 saadaksesi tuloksen -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-20. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -1.

$$a=-5 b=4$$

Kirjoita \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right) uudelleen muodossa x^{2}-x-20.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 4 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-5=0 ja x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Vähennä 28 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Kun luku 28 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Vähennä 28 luvusta -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -2 ja c luvulla -40 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Lisää 4 lukuun 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Ota luvun 324 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±18}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Jaa 20 luvulla 4.

$$x=5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±18}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 18 luvusta 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Jaa -16 luvulla 4.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5 x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Lisää 12 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Kun luku -12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Vähennä -12 luvusta 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Jaa -2 luvulla 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Jaa 40 luvulla 2.

$$x^{2}-x=20$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Lisää 20 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=-4$$