Ratkaise 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -2 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Lisää 4 lukuun 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Ota luvun 12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Jaa 2+2\sqrt{3} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{3} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Jaa 2-2\sqrt{3} luvulla 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Jaa -2 luvulla 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$