Ratkaise 2x^2-12x+18=0

$$2 x ^ { 2 } - 12 x + 18 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+9. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -6.

$$a=-3 b=-3$$

Kirjoita \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right) uudelleen muodossa x^{2}-6x+9.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja -3 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Kirjoita uudelleen binomin neliönä.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Löydät yhtälön ratkaisun ratkaisemalla yhtälön x-3=0.

$$x=3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-12x+18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -12 ja c luvulla 18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\times 18}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 18.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 2}$$

Lisää 144 lukuun -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=-\frac{-12}{2\times 2}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{12}{4}$$

Jaa 12 luvulla 4.

$$x=3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-12x+18=0$$

Vähennä 18 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-12x+18-18=-18$$

Kun luku 18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-12x=-18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-12x}{2}=-\frac{18}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)x=-\frac{18}{2}$$

Jaa -12 luvulla 2.

$$x^{2}-6x=-\frac{18}{2}$$

Jaa -18 luvulla 2.

$$x^{2}-6x=-9$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Lisää -9 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$x-3=0 x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3 x=3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$x=3$$